稍微了解一點量子力學的讀者，可能會覺得量子力學中最“匪夷所思”的觀念，就是那個“波粒二象性”，即觀測對象既可以是粒子、也可以是波。時至今日，前沿科技領域中認為是波的觀點還占據主導。被因果律熏陶了千年的物理人，可是花了不短時間來接受這種“匪夷所思”之觀，并將其發揚光大，成就量子力學的宏圖偉業。按 Ising 牽強附會的感受，如果將這種“二象性”的范疇在現象學意義上擴展，推廣到對同一個對象或效應可分別、或共同用“粒子”和“波動”圖像描述，則物理人的感覺就會舒服很多，就如圖 1(A) 所示一般。本文打算就這樣開始，看看效果如何。

這一“二象性”的表象似乎是：粒子圖像著重局域性，將整體物理效應表達為大量粒子相互作用的后果，即各類相互作用力導致粒子之間的散射。此時，單個粒子動力學的描述就是核心。波動圖像，則著重整體協同與關聯，將局域物理效果表達為波動的疊加、干涉、衍射的后果。此時，波動演化，如振幅、頻率 / 波長的演化動力學就是核心。從此意義上看，量子力學處理的世界，其能量尺度和時空尺度可能正好給了粒子圖像和波動圖像“相若相合”而“琴瑟和鳴”的機會，從而使得“波粒二象性”大行其道。兩者的特征，從不同側面表現出來，讓觀測者覺得這是“粒子”或“波”。這一圖像用圖?1(B) 所示之經典固體波的傳播來表達，最為直觀：您整體看是波在運動，您局域看是一個粒子在運動。

如此觀念，并非一定要在量子力學中才能被清晰而嚴謹地表達。外行如 Ising 者，這里有點要抬杠的意思^_^！量子力學作為革命性理論，其中一些觀念也可借用到經典物理和數學上，作為樸素表達的一種“思辨”。如此這般的馬后炮式牽強附會，是 Ising 的強項。讀者不妨放棄嚴格和較真的態度，姑且看看 Ising 就其較為熟悉的幾條橫道豎理，說出個一二，以判斷“波動”與“粒子”共存在科學內涵上是否有跡可循。

(A)

?

(B)

圖 1. (A) 量子力學所要表達的“波粒二象性”：空間傳播是波動 (物質波)，而能量行為是粒子 (準粒子)。(B) 經典固體中波的縱向和橫向振動傳播，其中黑色方塊表達一個所謂的“粒子”。

(A) from https://factmyth.com/factoids/light-is-both-a-particle-and-a-wave/。(B) from

https://www.mtu.edu/geo/community/seismology/learn/seismology-study/body-wave/。

Ising 無所事事之余，之所以想詭辯這種視覺，乃是以為凝聚態物理中的現象學相變過程、或者說朗道對稱性范式下的對稱性破缺、亦或說量子材料中各種量子態的產生湮滅 / 共存 / 競爭過程中，波動作為媒介要更“容易”、更善于“妥協”、更趨于“逐漸” (時間長一些)，所需能量也就更低。而粒子化模式 (具體而言，如“成核長大”過程)，則表現得更 sharp、革命化、tough 化，需要更高能量激發，但一旦發生卻更快、更突然。讀者可看到，Ising 這里的表達很大白話！也因此，量子材料中那些通過對稱破缺、成核長大等高能過程而實現有序態的物理效應，其中可能隱含有一些未曾被揭示的、更“波動”的物態。借助合適的量子材料，去“顯示”這些物態，應該很 exciting 和 high？！

不信，來看幾個例子：

(1) 首先，看高等數學。對一局域幾何形狀，例如 xy?坐標系中一個矩形，當然可以用一個局域函數 (數學表達式) 來描寫，如圖 2(A) 所示。這種局域、粗暴描述的觀念，大約就是“粒子化”的模式。而學過微積分的人也知道，用一個傅里葉級數或三角函數級數，可以無限趨近這一形狀。這些級數的每一項是什么呢？可看成是具有特定頻率 / 振幅的波。這些波在整個坐標系中疊加，即“堆疊”出這一局域的矩形形狀。這似乎也是整體的波和局域的粒子間一種等價性。Ising 當年學習微積分和級數展開時，隱約感受到這種觀念，并在后來的博士論文中半推半就運用過。物理人似乎很早就嘗試用“波”及其疊加來描述任意一個幾何對象，這不就是“任意一物體既是粒子也是波”的意象么？

(2) 其次，看凝聚態中熱力學相變。那些歸屬于朗道對稱性破缺的相變，似乎可用粒子和波的觀念分別去描述，有殊途同歸之意。以一級相變為例，有“成核生長 (nucleation & growth, NG or binodal)”和“調幅分解 (spinodal decomposition, SD)”兩類模式，如圖 2(B) 的相圖所示意：

(A) 降低溫度，從母相中形核、長大而形成新相，大量新相在母相中長大而耗盡母相或到達兩相共存，是通過 NG 模式完成相變的圖像。這里，新相胚胎很像是個粒子、是局域的，需要結構和成分大幅度漲落而越過較高勢壘達到新相。

(B) 降低溫度，從母相通過調幅分解 SD 模式逐漸演化，形成新相。這一過程的振幅和波長演化是漸進式的 (圖?2(B) 中 SD 區域內插入了空間濃度波的演化進程)，直到最后階段才耗盡母相或到達兩相共存。熟悉 SD 的物理人都知道，SD 多是熱力學自發進程、無需克服能壘，或只需很小驅動力便可進行。這一過程，是一種波動，一開始由一系列幅度無窮小、波長隨機的漲落組成。隨時間延長，波長競爭而完成擇優選擇，繼而振幅增強和模式軟化 (即頻率變慢，即調幅波不斷軟化并最終走向波長發散的過程，俗稱軟模凍結)。

因此，熱力學相變，可理解為是粒子圖像 (成核生長) 和波動圖像 (調幅分解) 交替并行的“二象性”。雖然教科書說一個體系只能在 NG 或 SD 中取其一，但實際上兩者本就是共存聯動的。一級相變那個著名的 Cahn – Hillard (CH) 動力學方程，本質就是波動的，其解也可以是波動疊加的形式。CH 方程將母相 – 新相界面處理成彌散連續幾何，將本以為是分離的 NG 和 SD 兩種模式囊括其中，讓三十年前的 Ising 很受震動、并留下深刻印記。

有了這“首先”和“其次”的鼓勵，Ising 便可更放肆地臆斷這一擴展的“二象性”還真是那么回事。拓展到二階相變，亦可牽強聯想幾個例子。

圖 2. 經典相變物理中粒子與波“二象性”的現象學表達。

(A) 一個局域的矩形總可以被一系列傅里葉波疊加而無限近似，其中不同振幅和波長的波用各種顏色的波動曲線表達。(B) 二元合金一級相變的相圖，外側類弧線表達形核生長 NG 的臨界線，綠色的倒置類拋物線表示調幅分解 SD 發生的臨界線 (SD 區域內還插入了一支調幅波的波幅隨時間演化三個階段：early, later, final)。下部展示了合金相變著名的 CH 方程及其微積分表達。(C) 鐵電材料中一個順電相結構單元 (右) 通過對稱破缺形成一個電偶極子 (左)，既鐵電“粒子”單元。(D) 安德森的鐵電軟模理論圖像，其中橫光學波對應正負電荷相向振動，在波長趨于無窮 (波矢 q 減小到零) 時對應橫光學模凍結 (即頻率 ω 趨于零)，導致長程鐵電電偶極子序。(E) 教科書中展示的自旋 (或矢量) 渦旋?–?反渦旋對，是一種低能波動激發。(F) 自旋波的結構，也是自旋低能波動激發。

(A) From https://mathworld.wolfram.com/FourierSeriesSquareWave.html。(B) from A. S. Abyzov et al, Entropy 21, 782 (2019), https://www.mdpi.com/1099-4300/21/8/782。(C) from K. Li et al, JACS 144, 816 (2022), https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.1c10188。(D) from B. Wei et al, Science China PMA 64, 117001 (2021), https://link.springer.com/article/10.1007/s11433-021-1748-7。(E, F) https://owlcation.com/stem/What-Are-Phonons-Magnons-and-Their-Applications-to-Spin-Wave-Theory。

(3) 再次，是鐵電相變。鐵電相變可歸于二階，也有人將其歸于弱一階。這不重要，重要的是，傳統鐵電理論依然從朗道對稱性破缺框架展開。一個電偶極子，如圖 2(C) 所示的一個晶格單元，就像一個粒子。粒子相合耦合而有序排列成鐵電疇，是典型的成核生長“粒子”圖像。當大神安德森的追隨者回頭看他老人家提出的軟模理論時，“波動”圖像也油然而生。鐵電軟模，如圖 2(D) 所示，就是晶格光學橫模聲子演化的進程。其振幅不斷增強、頻率不斷減小，及至最后頻率趨于零。聲子模軟化凍結，形成電偶極子疇，實現鐵電相變，雖然是很受物理人喜愛的安德森物理，但材料人更欣賞順電相中成核生長完成鐵電相變的圖像。孰是孰非、未置可否，也是“二象性”的某種體現。Ising 以為，聲子軟模更多是經典成核模式的一種波動表述，它們是一件事情的兩幅面目。

(4) 以磁性相變為例來結尾。Ising 對磁學是外行，但也知道順磁母相中形成鐵磁 / 反鐵磁新相時，NG 模式大行其道。只是，如果磁晶各向異性不那么強，vortex – antivortex (V – AV) 模式或自旋波 (spin – wave, SP) 模式亦可展現，如圖 2(E) (V – AV) 和圖 2(F) (SP) 所示。通過波長演化和波動模式軟化而形成長程磁性相，此中物理似乎類似于、卻比鐵電中的“二象性”更豐富和寬闊，在此不論，以避免坐井觀天。

舉例這么多，讀者可能被糊涂了：到底要干什么！Ising 重復之、歸納之，大概有如下幾點：

(a) 所謂的波與粒子的“二象性”，并非一定是描述一種效應的兩種機制，也可以是這一效應的兩幅面貌，即 duality。

(b) “波動”效應看起來需要的局域能標較小 (亦即需要的單位體積的能量較小)，因此在驅動力較小時優先出現，但動力學上較為緩慢。支持這一議論最好的證據，乃來自量子磁性中的自旋波低能激發，如圖 2(F) 所示：必須是自旋波，而不是其它！而“粒子”效應，不那么容易顯現，更無須強調所涉及的對稱性破缺問題。

(c) 如果驅動力足夠大，“波動”機制就可能被掩蓋掉，能標較大的粒子機制就會勝出。畢竟，粒子機制是局域的，只需局域內成分或結構的漲落足夠大即可，且所需時間尺度會很短。波動機制，需要整體協同、疊加，能標也許很小，但需更長時間演化。

如上三條，果若遇到合適的系統，就可演繹出新物理來。這一理解，似乎在量子材料中展現得更為顯著。特別是其中的超導物理，這樣的實例信手拈來。不妨再去看已被量子材料人看爛了、討論爛了的非常規 d 波銅基超導相圖，如圖 3(A) 所示。由于強電子關聯效應，這里原本能標很高的載流子動能項被電子關聯大幅抑制，給了若干小能標“波動”態以登堂入室的機會。例如，物理人很早就知道，電 – 聲子耦合物理，除了驅動電子庫珀對外，也能激發“電荷密度波 CDW (charge density wave)”、“配對密度波 PDW (pair density wave)”之類。電子關聯還可能導致自旋漲落一類的電子配對模式，副產品也有“自旋密度波 SDW (spin density wave)”、“電子向列相”之類。相圖中圍繞在超導區四周的那些量子態，都或多或少與“波動”有聯系。對其它類別的非常規超導，類似的定性議論也是適用的，只是不那么典型，在此不再絮叨，僅僅列舉鐵基超導的相圖一幅如圖 3(B) 所示。

圖 3. 銅基超導相圖 (A) 和鐵基超導相圖 (B)。可以看到，在超導相區四周都是一些“波動”相，如 CDW、SDW、PDW、Nematic state 等。

(A) From B. Keimer et al, Nature 518, 179 (2015), https://www.nature.com/articles/nature14165。 (B) From J. H. Wang et al, Advances in Physics X 6, 1878931 (2021), https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/23746149.2021.1878931。

非常規超導相圖的這些“波動”特征，給物理人一種印象：CDW、PDW、SDW 等這些“波”，應該是非常規超導的內在屬性：只要壓制那些高能標的物理過程，如引入強關聯去壓制動能項，超導體系就可能衍生出與電子超導配對“牽扯不清”(競爭、共存或相干) 的、具有“波動”屬性的物理、物態。這樣的物理，在銅基超導、鐵基超導、魔角超導、甚至是才出現的鎳基超導中，似乎都若隱若現、宛若江湖傳說一般！揭示并操控它們，是超導物理人的宿命，否則他們就得“曾經滄海難為水”了^_^！

稍等！真的必須要非常規超導么？常規超導中，或者干脆說電 – 聲子耦合主導的超導中，難道就沒有這些“波動”屬性的舞臺了？

這樣的問題，最近就被人提及，并被認認真真地探討了一番。被探討的意義，Ising 以為有兩個層面：(1) 常規超導中有否低能標的“波動”物態什么事？又是什么事？(2) 如果有，傳統超導物理能不能展現其存在？這樣的意義，不能說是天大的物理，但也是很重要的物理。

呈現這一意義的超導體，其實就在眼前，即最近幾年備受關注的釩基籠目超導體 (kagome metal) AV₃Sb_5?(A = K, Rb, Cs)，其晶體結構和超導相圖顯示于圖 4(A) 和 4(B) 中。這一籠目材料類別，乃由米國加州大學圣巴巴拉分校的帥哥 Stephen D. Wilson?小組發現，隨即引發量子材料領域同行高度關注，包括超導電性、CDW、PDW 等“波動”物態，也紛紛被確認和深入探討。特別指出，我國學者在這一領域成績斐然，包括中科大陳仙輝老師、中國科學院物理所胡江平老師在內的諸多知名團隊都很有建樹，如仙輝老師他們關于 CDW、江平老師他們關于局域自旋反演破缺調制 (手性磁通相 chiral flux phase, CFP)?等結果。2022 年，江平老師他們曾經在《物理學報》期刊中刊發過一篇對這一主題的科普總結?(https://wulixb.iphy.ac.cn/article/doi/10.7498/aps.71.20220891)，非常棒！感興趣的讀者可前往御覽閱讀，Ising 在此不再絮叨。

圖 4. 具有 kagome 晶格的無磁性金屬化合物 AV₃Sb_5?之結構 (A) 與量子態相圖 (B)。有意思的是，一旦進入超導區域 (無論 V – shaped 還是 U – shaped 區域)，高溫區形成的 CDW 和其它“波動”漲落都全數湮滅、不復存在。這與非常規超導體的超導相區內非常“不干不凈”的結果大相徑庭。

(A) From H. X. Li et al, PRX 11, 031050 (2021), https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.11.031050。

(B) From H. Yang et al, Science Bulletin 67, 2176 (2022), https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S2095927322004753。

具有 kagome 晶格的 AV₃Sb_5?金屬，就具備如上提及的“被探討之意義”：

(1) kagome 點陣，更多是一類準二維的晶格，由六邊形和三角形交替嵌套而成，其面內平移對稱性很低，大大壓縮了高能標物理的可能性。如此，載流子要在面內遷移就很困難，導致明顯的所謂“平帶”效應。這，很像魔角體系中的 Moire 條紋晶格，也具有強“關聯”或“平帶”物理！

(2) 這類體系不含磁性元素，軌道磁矩也無多少非同尋常。針對 AV₃Sb_5?超導電性的諸多研究，似乎都指向一個共同結論：這是一類 s 波常規超導！似乎 BCS 理論或歸于此類的電 – 聲子超導理論模型，應可用來描述其中的物理，包括諸如 Holstein model 這樣的理論模型。

(3) 既然無磁性、是 kagome，體系中出現小能標“波動”物態并不稀奇。也就是說，其中出現 CDW、PDW 等與超導競爭的“波”物理或“波動”態，似乎也情有可原。但是，諸如 Holstein model 這樣的經典模型，真的能給出這些個“情有可原”么？

回答這一問題，不是件容易的事，但亦有好此之物理人。來自米國加州大學戴維斯分校的理論凝聚態學者 Richard T. Scalettar?教授領導的團隊，與來自米國田納西大學和洛斯阿拉莫斯國家實驗室的團隊合作，對此展開了探索。Ising 非物理人、更非超導理論物理人，即便是抱著 Scalettar 教授他們最近刊發在《npj QM》上的理論大作讀了很久，依然未能窺得其中分毫。不過，他們的文章寫得很瀟灑而清晰，外行多看幾遍，亦可看出一點熱鬧。他們的工作大意如此：

(a) 既然 kagome 體系如 AV₃Sb₅ (A?=?K, Rb, Cs) 非磁性、展現的多是 s 波超導物理，為何其中會有常規超導中不常見的 CDW？大量實驗和理論討論，都確認了?AV₃Sb₅ 中的 CDW。那么，一個典型的電 – 聲子耦合模型，就應該能容納 CDW，不是么？

(b) Holstein model 是傳統超導物理中用于描述電 – 聲子 (Einstein phonon) 耦合、既簡單又典型的模型，曾被廣泛研究、并被拓展去描述非常規超導中的電 – 聲子相互作用物理 (考慮關聯后，即那個著名的 Hubbard – Holstein 模型)。簡單又著名，說明其拽著了常規超導體系中電 – 聲子耦合的關鍵。而電 – 聲子耦合，又是 CDW出現的根源之一。

(c) Holstein 模型已被成功用于預測諸如正方點陣、蜂窩點陣和 Lieb?點陣中的 CDW 和超導電性。現在，該輪到 AV₃Sb_5?這一 kagome?金屬體系了，且它亦是 s 波常規超導體系。去看一看這一模型能否捕捉到 kagome?點陣中 CDW?的蹤影，無疑是有價值并令人迫不及待的題目！

(d) 果不其然，Scalettar 教授他們利用最近發展出來的混雜蒙特卡洛模擬方法 (hybrid Monte Carlo simulation)，揭示出該點陣存在 3 × 3 的 CDW 有序態，雖然這一有序態只出現在電子填充濃度 (average electron filling) <n> = 2/3 的固定點處。他們的部分計算結果顯示于圖 5 中 (詳細描述參見原文)。更進一步，他們還估算了 CDW 出現的溫度。結果是，溫度與電子動能項成正比，但卻很低。大量的搜索計算顯示，在任何其它 <n> 和高溫區，都無 CDW 的蹤影。看起來，CDW 在這一模型中有稍縱即逝的味道。

圖 5. Scalettar 他們針對 kagome metal 晶格，從 Holstein 模型出發，基于 hybrid Monte Carlo simulation 得到的主要結果。

(A) 特定參數空間中，不同溫度 (1 / b) 下平均電荷密度 <n> 與化學勢 μ 的關系，清晰展示出在 <n> = 2/3 處存在平臺區，對應于 μ ~ – 0.5 處。(B) <n> = 2/3 處電子動能處于最小值，意味著 CDW 的確會出現于此。(C) 計算得到的 CDW 結構因子 S_CDW 與電 – 聲子耦合強度 λ_D 的關系。很顯然，μ ~ 0.4 時，結構因子 S_CDW 出現敏銳峰值，證實 kagome 金屬點陣模型體系中是可以出現 CDW 的，令人印象深刻。

所有這些模型討論與模擬結果，顯示出 CDW 這個“波”出現在 Holstein model 中是不容易，但不是不可能。給定 kagome?金屬、給定 AV₃Sb₅，也可以形成 CDW，令人感受到電 – 聲子耦合和超導物理是多么擅長“川劇變臉”、多么容易“人面桃花”而“波粒二象”。就這一點，該項理論工作是有一定意義的，并提示物理人：常規 s 波超導中也是可以有很多好物理的。阿門！

雷打不動的結尾：Ising 乃屬外行，描述不到之處，敬請諒解。各位有興趣，還請前往御覽原文。原文鏈接信息如下：

Charge order in the kagome lattice Holstein model: a hybrid Monte Carlo study

Owen Bradley, Benjamin Cohen-Stead, Steven Johnston, Kipton Barros & Richard T. Scalettar

npj Quantum Materials 8, Article number: 21 (2023)

https://www.nature.com/articles/s41535-023-00553-y