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包括 Ising 在內(nèi)的黎民百姓，崇尚眼見(jiàn)為實(shí)，在周圍實(shí)空間中看到什么就描述什么。這是認(rèn)識(shí)客觀世界的基礎(chǔ)，所以物理人注重描繪物體的大小、形狀及其運(yùn)動(dòng)。

后來(lái)，為了方便描述衍射物理，也基于對(duì)固體相互作用的深刻理解，物理人構(gòu)建了實(shí)空間的倒易空間、動(dòng)量空間或波矢 k 空間 (含時(shí)空間)。

Whatever，將觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)世界 map 到 k 空間中去，顯示了顛倒世界的無(wú)尚風(fēng)景。這種倒置的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系，構(gòu)成了今天物理人、特別是凝聚態(tài)物理人的研究平臺(tái)之一。看起來(lái)，物理人似乎形成了某種“條件反射”：實(shí)空間的世界里有什么，就要嘗試在 k 空間中探索類似的效應(yīng)。

由此，k 空間中的“布里淵區(qū)”，亦成為波函數(shù)的三維坐標(biāo)空間。這種倒置的三維空間，成為量子材料討論問(wèn)題的主體世界，反倒是實(shí)空間的物理顯得有些 low 了。

當(dāng)然，量子材料的主要任務(wù)，不是去關(guān)心材料實(shí)空間的顯微結(jié)構(gòu)和力學(xué)性能，不是去關(guān)心其加工成型和操控，而是更關(guān)注其中的量子載體──電子的集體運(yùn)動(dòng)行為，表現(xiàn)為 k 空間中波函數(shù)的形狀、相互作用和運(yùn)動(dòng)好壞快慢等。

舉個(gè)例子，對(duì)實(shí)空間一物體，為了某種目的，可以切割、剪裁物體的大小和特定形狀，為我所用。也可利用簡(jiǎn)單力學(xué)原理做成角材、工字材，減輕物體重量而依然保持原來(lái)的性能品質(zhì)。

還可以利用對(duì)稱性構(gòu)建各種圖案 (如蜂窩點(diǎn)陣、kagome 點(diǎn)陣、Penrose 拼盤等) 以顯示美感和更多功能。更可以將其扭轉(zhuǎn)、對(duì)接而制作成“莫比烏斯帶”一般的拓?fù)浞瞧接箮缀谓Y(jié)構(gòu)。如此等等，形成了今天材料使用的各種行業(yè)，使得日常生活更方便、高效和舒適。

這樣簡(jiǎn)單的處理加工理念，物理人也希望運(yùn)用到 k 空間的“物體”上，希望如此這般地實(shí)施后，也得到類似效果。當(dāng)然，這里所謂的“物體”，就是能帶。這里的所謂“效果”，就是量子材料能帶的各種形態(tài)、尺度、相互關(guān)系及其對(duì)應(yīng)于實(shí)空間的輸運(yùn)與轉(zhuǎn)換性能，對(duì)吧？！Ising 外行，只是班門弄斧，從幾個(gè)點(diǎn)上羅列編撰一些線條。

許多年來(lái)，物理人特別關(guān)注費(fèi)米能級(jí)附近能帶的方圓疏密、尖寬胖瘦，從而能對(duì)量子輸運(yùn)和光電轉(zhuǎn)換等過(guò)程的快慢深淺、各向異性一覽無(wú)余，如圖 1(A) 所示。金屬和半導(dǎo)體科技，從這一“方圓疏密、尖寬胖瘦”中獲得了眾多發(fā)現(xiàn)、革新和應(yīng)用，不一而足；也促成能帶理論成為凝聚態(tài)物理的核心。

后來(lái)，固體物理引入自旋自由度，建立了金屬磁性微觀理論，勾畫(huà)了上下自旋能帶劈裂 shift 成鐵磁金屬，對(duì)能帶理論亦有推動(dòng)與發(fā)展。不過(guò)，即便到這一步，物理人還是很少對(duì)能帶的整體或局部幾何性質(zhì)給出清晰認(rèn)識(shí)、并加以操控。他們做得最多的，是將費(fèi)米能級(jí)處的載流子遷移率和有效質(zhì)量等物理量提取出來(lái)，并與能帶色散、自旋磁矩等相聯(lián)系，以改善材料性能。

對(duì)能帶整體幾何形貌和局部幾何的特別關(guān)注，可能起始于非常規(guī)超導(dǎo)或電子關(guān)聯(lián)物理。或者扯得更遠(yuǎn)一些，起始于費(fèi)米能附近那些能標(biāo)較小的物理效應(yīng) (例如拓?fù)洹⒆孕嚓P(guān)激發(fā)、平帶、自旋 – 軌道耦合 SOC 等)。圖 1(B) 示意了其中一些簡(jiǎn)單情形，讓讀者感受到量子凝聚態(tài)的快速發(fā)展態(tài)勢(shì)。到了今天，物理人已習(xí)慣于關(guān)注能帶的整體幾何性質(zhì)，使之成為拓?fù)淞孔游锢硌芯康暮诵摹D 1(C) 所示的，即是能帶整體幾何性質(zhì)的一種表現(xiàn)，也是本文即將觸及的主題。

圖 1. 物理人擅長(zhǎng)描繪的 k 空間能帶結(jié)構(gòu)之幾個(gè)例子。(A) 固體電子態(tài)最簡(jiǎn)單直觀的表達(dá)，包括金屬 (a)、半金屬 (b)、半導(dǎo)體 (c) 和絕緣體 (d)。(B) 在 k 空間中，電子自旋和軌道自由度相關(guān)物理的一種展現(xiàn)，包括自旋 – 軌道耦合 SOC、軌道霍爾效應(yīng) OHE (orbital Hall effect) 等。(C) 在 k 空間中，狄拉克和拓?fù)淞孔芋w系的貝里曲率，其中狄拉克錐 (Dirac cone) 處貝里曲率用顏色表示、軌道角動(dòng)量用箭頭表示。圖示細(xì)節(jié)內(nèi)容，請(qǐng)參閱相關(guān)文獻(xiàn) (鏈接地址)。

(A) J. S. Miller, Chemistry Europe 25, 11177 (2019), https://chemistry-europe.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1002/chem.201903167。

(B) D. Go et al, PRL 121, 086602 (2018), https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.121.086602。

(C) Illustration of the Berry curvature and orbital angular momentum, from M. Schuler et al, Sci. Adv. 6(9), eaay2730(2020), https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.aay2730。

總之，物理人似乎養(yǎng)成了一種習(xí)慣或條件反射，不自覺(jué)將實(shí)空間和 k 空間對(duì)照一番、比劃一下。不知道這是否正成為發(fā)現(xiàn)新物理、構(gòu)建梳理新思路的一把密鑰！當(dāng)然，這種對(duì)照，也可能源于物理人進(jìn)行的形象類比和通俗科普，以便更多人理解并給予支持，即便這樣的類比有效或無(wú)效、嚴(yán)謹(jǐn)或粗糙。不過(guò)，相互顛倒的兩重世界之間，如果存在某種對(duì)應(yīng)或鏡像，哪怕是類比，只要能更新或深化物理人對(duì)客觀世界的理解，也未必不是好事。且看 Ising 在囫圇吞棗之后，如何比劃這種類比、對(duì)照。不妨選擇實(shí)空間的電磁學(xué)及其 k 空間的類比，作為討論的切入點(diǎn)。

選擇電磁學(xué)作為議論對(duì)象，乃是因?yàn)殡姶艑W(xué)可能是經(jīng)典物理學(xué)表現(xiàn)最豐富和最親切的分支學(xué)科。物理人任何時(shí)候去“一步三回顧”電磁學(xué)或電動(dòng)力學(xué)，都可能有新收獲：

(1) 電磁學(xué)主要討論兩個(gè)基本物理量，即實(shí)空間的電場(chǎng) E 和磁場(chǎng) B (磁感應(yīng)強(qiáng)度)。前者是矢量、徑向指向而一往直前，后者是贗矢量、軸向 (橫向) 指向而環(huán)繞往復(fù)。前者對(duì)電荷的作用是電場(chǎng)力、點(diǎn)乘；后者對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用是洛倫茲力、叉乘。電場(chǎng)和磁場(chǎng)的這兩類屬性，驅(qū)動(dòng)電子作縱向和橫向運(yùn)動(dòng)。或者更一般地，它們一起驅(qū)動(dòng)電磁場(chǎng)組合運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成電磁輸運(yùn)的基礎(chǔ)。很顯然，因?yàn)殡妶?chǎng)、磁場(chǎng)都能對(duì)運(yùn)動(dòng)電子施加作用，在固態(tài)量子體系的 k 空間中，它們也應(yīng)該是主角。物理人希望由此在 k 空間中創(chuàng)造一個(gè)“電磁學(xué)”的世界，創(chuàng)造出類比電場(chǎng)或磁場(chǎng)的新物理量。當(dāng)然，電場(chǎng)這一與時(shí)間無(wú)關(guān)的極矢量在 k 空間中依然可用，但 k 空間中類比于磁場(chǎng)的物理量之意義就不那么清晰。

(2) 凝聚態(tài)物理中，展示電磁場(chǎng)、特別是磁場(chǎng)主角形象的最佳場(chǎng)景，肯定是霍爾效應(yīng)了。圖 2(A) 所示為霍爾家族的主要成員。電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)載流子縱向運(yùn)動(dòng)，給了磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)其橫向霍爾漂移的機(jī)會(huì)，這是基本認(rèn)知。接下來(lái)，如果存在一個(gè)等效磁場(chǎng) (如鐵磁材料的磁矩，就是等效磁場(chǎng))，則反常霍爾效應(yīng)就能登堂入室。一般情況下，反常霍爾會(huì)很顯著，堪比強(qiáng)磁場(chǎng)下的正常霍爾。因此，反常霍爾是很強(qiáng)的物理，必定有更深刻的起源。這兩大效應(yīng)在物理人的研究中日久彌新，給凝聚態(tài)物理和量子材料以巨大影響。磁場(chǎng)或磁性，及至與磁性相關(guān)的自旋自由度和磁矩序參量，也早就成為凝聚態(tài)物理的重要內(nèi)涵。

(3) 量子霍爾效應(yīng)，超越正常和反常霍爾效應(yīng)，早就粉墨登場(chǎng)了。以二維電子氣中的霍爾效應(yīng)為例：隨磁場(chǎng) B 變化，霍爾電阻呈現(xiàn)漂亮的霍爾平臺(tái)。物理人對(duì)此的理解是，填充于費(fèi)米面附近能級(jí)的電子，在磁場(chǎng) B 作用下將回環(huán)運(yùn)動(dòng)。因?yàn)殡娮幽芗?jí)是離散化的，即所謂朗道能級(jí)，所以就有了霍爾臺(tái)階。此時(shí)，如果二維電子氣是非磁性的，觀測(cè)到的就是量子霍爾效應(yīng)。如果體系是磁性的 (例如鐵磁性)，則二維電子氣可以呈現(xiàn)反常量子霍爾臺(tái)階，雖然這樣的效應(yīng)一直到 2010 年代才在磁性拓?fù)浣^緣體中觀測(cè)到。

(4) 無(wú)論是經(jīng)典還是量子霍爾，外加磁場(chǎng)或等效磁場(chǎng)都是必要條件。對(duì)電磁學(xué)，磁場(chǎng) B 的存在也是電子橫向漂移運(yùn)動(dòng)的必要條件。如果再?gòu)奈⒂^機(jī)制層面看，由經(jīng)典洛倫茲力到量子的朗道能級(jí)，磁場(chǎng)同樣不可或缺。如果一定要較真這一說(shuō)辭，不妨回顧一下電動(dòng)力學(xué)中的 AB 效應(yīng) (Aharonov – Bohm 效應(yīng))。此時(shí)，物理人似乎初步“放棄”了直接討論磁場(chǎng) B，轉(zhuǎn)而用經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中的磁矢勢(shì)，再引入量子力學(xué)中幾何相位概念，就可以理解 AB 效應(yīng)了，如圖 2(B) 所示。這里有兩個(gè)層面的意涵。其一，AB 效應(yīng)提升了磁矢勢(shì)概念的重要性，它與磁場(chǎng) B 至少存在數(shù)學(xué)上的聯(lián)系 (磁場(chǎng)、磁通、磁矢勢(shì))，且磁矢勢(shì)遠(yuǎn)比磁場(chǎng)的意義深刻。其二，雖然磁場(chǎng) B 不在兩束電子束運(yùn)動(dòng)路徑上 (即電子束沒(méi)有被施加洛倫茲力)，但改變 B 依然可以影響兩束電子束的疊加干涉效果。干涉圖樣 shift 的方向，正是與電子束運(yùn)動(dòng)方向和磁場(chǎng) B 方向正交的方向，這與霍爾效應(yīng)的空間幾何關(guān)系有類似之處。

圖 2. (A) 霍爾效應(yīng)家族。(B) 在 k 空間中的貝里相位物理，與在實(shí)空間中的電磁學(xué)之間，存在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。(C) 連接實(shí)空間電磁學(xué)和 k 空間量子力學(xué)之最簡(jiǎn)單圖像：AB 效應(yīng)。(D) 拓?fù)浒虢饘俚哪軒ЫY(jié)構(gòu) (tilted Dirac cones) 和對(duì)應(yīng)的貝里曲率分布。

(A) C. Z. Chang et al, JPCM 28, 123002 (2016), https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-8984/28/12/123002。

(B) AB效應(yīng)中的磁場(chǎng)和相位。https://zhuanlan.zhihu.com/p/98419661。

(C) 來(lái)自牛謙老師在北京大學(xué)的學(xué)術(shù)演講(2014-10-23) 《Berry phase effects on Bloch electrons in electromagnetic fields》，https://www.slideserve.com/gerodi/berry-phase-effects-on-bloch-electrons-in-electromagnetic-fields。

(D) K 空間中拓?fù)浒虢饘僦械哪軒ЫY(jié)構(gòu)與對(duì)應(yīng)的貝里曲率，H. Li et al, NC 7, 10301 (2016), https://www.nature.com/articles/ncomms10301。

如上 (1) ~ (4) 的邏輯梳理，讓物理人感受到，對(duì)霍爾效應(yīng)的認(rèn)知，正逐漸從“磁場(chǎng)誘發(fā)的效應(yīng)”過(guò)渡到“部分與磁場(chǎng)相關(guān)的效應(yīng)”，最終到達(dá)“與磁場(chǎng)無(wú)關(guān)的效應(yīng)”。正是如此，霍爾效應(yīng)最終也成為展示量子凝聚態(tài)或量子材料效應(yīng)的良好平臺(tái)?(可能是最重要的平臺(tái))。最近受關(guān)注的“非線性霍爾效應(yīng)”就是一個(gè)例子。它顯性上與磁場(chǎng) B 沒(méi)有關(guān)系，表現(xiàn)為縱向電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的橫向倍頻電壓信號(hào)。這些認(rèn)知過(guò)渡的背后，是對(duì)量子力學(xué)中幾何相位的深刻認(rèn)識(shí)。所謂幾何相位，也就是 k 空間中的貝里相位 (Berry phase)，如圖 2(C) 所示。AB 效應(yīng)中，兩束同源而被分開(kāi)的電子束在遠(yuǎn)處的干涉疊加，會(huì)對(duì)磁場(chǎng)變化產(chǎn)生響應(yīng)，在實(shí)空間中是很匪夷所思的。但是，如果從磁場(chǎng)攜帶磁通引發(fā)磁矢勢(shì)背后的貝里相位變化角度去理解，我們馬上明白：正是因?yàn)樨惱锵辔坏淖兓瑑墒娮邮诏B加時(shí)才會(huì)因?yàn)檫@一相位差而使干涉圖樣發(fā)生 shift。

行文至此，Ising 的感覺(jué)是：貝里相位與此處討論的實(shí)空間物理之間，既并無(wú)明確的聯(lián)系，亦有某種內(nèi)在聯(lián)系。畢竟，“霍爾效應(yīng)源于磁場(chǎng) B 的橫向力作用”這一圖像，在物理人腦海里太深刻了。因此，將 k 空間的貝里相位與實(shí)空間的霍爾效應(yīng)進(jìn)行類比，進(jìn)而建立貝里相位與磁性之間的聯(lián)系，就非常重要。這種聯(lián)系的建立，產(chǎn)生的主要結(jié)果是：在 k 空間中，貝里相位就是 AB 效應(yīng)中的磁通；而貝里相位連接 (Berry connection) 即是磁矢勢(shì)；歸結(jié)到最后，貝里相位在 k 空間的變化劇烈程度 (實(shí)際上是貝里連接的 k 空間導(dǎo)數(shù))，即是 (或比例于) 貝里曲率 (Berry curvature)，也就是等效磁場(chǎng) B。這樣的類比，可以漂亮地描述 AB 效應(yīng)，成為今天理解電磁效應(yīng)的量子基礎(chǔ)。注意到，貝里相位和貝里曲率，是在 k 空間中定義的，而波矢 k 含時(shí)間坐標(biāo)。也就是說(shuō)，對(duì)稱性的類似性，讓貝里曲率與磁性 (磁場(chǎng)) 依然是有聯(lián)系的，并展現(xiàn)了超越簡(jiǎn)單類比的深刻物理。圖 2(D) 所示，乃是 k 空間貝里曲率分布的一個(gè)實(shí)例。

現(xiàn)在，于 k 空間中，物理人也有了貝里曲率 (貝里相位、貝里連接) 這樣與實(shí)空間的磁場(chǎng) B (磁矢勢(shì)、磁通量) 對(duì)應(yīng)的物理量，只是這些物理與磁場(chǎng) B (包括磁性、磁通、磁矢勢(shì)) 之間已經(jīng)沒(méi)有顯性的聯(lián)系。“沒(méi)有聯(lián)系”就可以讓物理人超越傳統(tǒng)磁性的束縛，將貝里物理推廣到所有可能達(dá)到之處，如非磁性、無(wú)特定對(duì)稱性要求、無(wú) SOC、無(wú)自旋 – 晶格耦合，等等?(只是經(jīng)典物理意義上的擴(kuò)展^_^)。姑且大膽幻想，在 k 空間中，物理人可以試圖建立一套與經(jīng)典磁性無(wú)關(guān)的“電磁學(xué)”，并發(fā)展相關(guān)的物理和應(yīng)用。基于永不滿足的性格，物理人馬上就開(kāi)始了 k 空間 (能帶空間) 中諸多“電磁學(xué)”性質(zhì)的探測(cè)。例如，貝里曲率對(duì)整個(gè)布里淵區(qū)的積分，就是二維拓?fù)浣^緣體的拓?fù)潢悢?shù) (Chern number)。再例如，對(duì)金屬磁性，貝里曲率對(duì)布里淵區(qū)所有填充態(tài)的積分，即為反常霍爾效應(yīng)，或者干脆就是貝里相位。這些性質(zhì)，與磁場(chǎng) B 沒(méi)有顯性聯(lián)系，雖然依然受到電場(chǎng) E 的掣肘。

圖 3. (A) 反常霍爾效應(yīng) (a) 對(duì)應(yīng)于貝里曲率 (b)；非線性霍爾效應(yīng) (c)對(duì)應(yīng)于貝里曲率一階矩 (d) (顏色不同對(duì)應(yīng)于貝里曲率的變化，形成 dipole 偶極矩 Λ)。(B) 在非磁性、中心反演對(duì)稱破缺的化合物 TaAs 中，貝里曲率的分布和對(duì)應(yīng)的磁單極子形態(tài)。

(A) from Q. Ma et al, Nature 565, 337 (2019), https://www.nature.com/articles/s41586-018-0807-6。

(B) TaAs化合物的貝里曲率分布，from H. M. Weng et al, PRX 5, 011029 (2015), https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.5.011029。

如果只是基于 Ising 學(xué)過(guò)的若干三腳貓知識(shí)，是遠(yuǎn)不夠去認(rèn)識(shí)物理人如何探索 k 空間的“電磁學(xué)”的。Ising 只有一些碎片化的事實(shí)描述，姑且呈現(xiàn)如下，以濫竽充數(shù)：

(1) 測(cè)量貝里曲率的方法。很顯然，能夠有效測(cè)量貝里曲率，是討論貝里相位物理的前提。實(shí)驗(yàn)上，要測(cè)量一個(gè)量子材料的能帶幾何形態(tài)，可以利用角分辨光電子能譜 APRES 和利用 STM 微分電導(dǎo)譜。它們都是成熟技術(shù)。但用它們?nèi)カ@取貝里相位和曲率，似乎并無(wú)特定優(yōu)勢(shì)。目前常用的方法，是測(cè)量平面霍爾電阻 (planar Hall effect, PHE)、量子振蕩和非線性霍爾效應(yīng)等。前兩者依賴于外加磁場(chǎng)，不在此討論。后者則對(duì)應(yīng)于 k 空間貝里曲率的一階偶極矩 (Berry curvature dipole, first moment of Berry curvature)，如圖 3(A) 所示。很顯然，那些偶極矩很大的體系，也必定是貝里曲率很強(qiáng)的體系。關(guān)于非線性霍爾效應(yīng)的詳細(xì)介紹，讀者可御覽南方科大盧海舟老師撰寫的科普大作《讓霍爾也非線性》。

(2) 追求大貝里曲率的材料。即便是從貝里曲率和磁場(chǎng) B 之間的簡(jiǎn)單類比，物理人也能明白，鐵磁金屬和半導(dǎo)體體系中一定有很多大貝里曲率的體系。事實(shí)也是如此，包括萬(wàn)賢綱一開(kāi)始就預(yù)言的磁性外爾半金屬。除此之外，中心反演對(duì)稱破缺的非磁性體系也可有非零貝里曲率，著名的 TaAs 就是一個(gè)例子，如圖 3(B) 所示。外爾半金屬中的外爾點(diǎn)，其實(shí)就是貝里曲率奇異點(diǎn)。正因?yàn)樨惱锴暑惐扔趯?shí)空間磁場(chǎng) B，物理人才將外爾半金屬中一對(duì)一對(duì)的外爾點(diǎn)說(shuō)成是 k 空間中的“磁單極”。當(dāng)然，這里的“磁單極”，并非經(jīng)典電磁學(xué)中的“磁單極”，或者說(shuō)此“磁單極”非彼“磁單極”。推而廣之，物理人還發(fā)現(xiàn)，在諸多 type – I 和 type – II 外爾半金屬中，那些傾斜扭曲 (tilted) 的外爾錐處不但有很大的貝里曲率，且其一階矩也可以很大，如圖 2(D) 所示：它們都是大貝里曲率的材料。

(3) 在發(fā)現(xiàn)具體材料之外，物理人也關(guān)注有哪些典型晶體結(jié)構(gòu)可以有很大的貝里曲率。例如，諸多二維結(jié)構(gòu)的貝里曲率可以很大，特別是那些具有垂直鏡面對(duì)稱 (點(diǎn)群 C_s) 的結(jié)構(gòu)。具有面外旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的結(jié)構(gòu)、面內(nèi)六角或三角對(duì)稱結(jié)構(gòu)、魔角結(jié)構(gòu)等二維結(jié)構(gòu)，即便是完全沒(méi)有 SOC 的體系，依然可以有很大的貝里曲率及一階偶極矩。

尋找大的貝里曲率及其一階矩的各種探索，在過(guò)去幾年顯得非常熱火，也誕生了諸多成果，讓物理人發(fā)展 k 空間高品質(zhì)“電磁學(xué)”的努力受到很大鼓舞。不過(guò)，這樣的探索，依然面臨材料種類和物理約束過(guò)于嚴(yán)苛的局面，即便到今天，從更原理層面去尋求一些可能的新體系，依然充滿挑戰(zhàn)和誘惑。正因?yàn)槿绱耍瑫r(shí)常會(huì)有一些令人一時(shí)不解、但不久卻會(huì)眼睛一亮的思路和嘗試冒出來(lái)，讓人回味而輾轉(zhuǎn)。

果不其然，來(lái)自意大利薩萊諾大學(xué)物理系 (Dipartimento di Fisica, Universita di Salerno) 的量子凝聚態(tài)理論學(xué)者 Carmine Ortix 教授 (他最近幾年十分活躍和高產(chǎn))，帶領(lǐng)他的團(tuán)隊(duì)，與瑞士 University of Geneva 的量子材料知名學(xué)者 Andrea D. Caviglia 合作，近些年一直致力于拓?fù)淞孔硬牧系奶剿鳌Ｗ罱麄冇谇叭斯ぷ骰A(chǔ)上提出，在非磁性、非中心對(duì)稱的晶體結(jié)構(gòu)中，即便沒(méi)有空穴激發(fā) (hole excitations)，依然可以由晶體場(chǎng)誘發(fā)出一些貝里曲率高度濃縮集中的區(qū)域，給 k 空間“電磁學(xué)”帶來(lái)實(shí)空間電磁學(xué)所沒(méi)有的別樣風(fēng)景。

圖 4. 由晶體場(chǎng)誘導(dǎo)的軌道角動(dòng)量可以調(diào)控貝里曲率：(A) Spin and orbital mechanisms of Berry curvature。(B) Orbital design of Berry curvature hot-spots and pinch points。

Ortix 他們的這一工作，側(cè)重于理論構(gòu)建和推演，對(duì) Ising 閱讀理解構(gòu)成巨大勢(shì)壘。Ising 姑且先將部分結(jié)果集成于圖 4 中，再寫幾段囫圇吞棗式的讀書(shū)筆記：

(1) 在非磁性及 SOC 很弱的體系中，貝里曲率很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該不多。畢竟沒(méi)有等效磁場(chǎng)對(duì)能帶劈裂的加持效果，形成大貝里曲率并不容易。

(2) 那些中心反演對(duì)稱破缺之拓?fù)浒虢饘袤w系，如 TaAs 等，當(dāng)然可以有很大的貝里曲率及一階矩 (dipole, first moment)。不過(guò)，這樣的體系，加上外爾半金屬的特征，需要外爾點(diǎn)處電子和空穴共同激發(fā)、疊加，才能實(shí)現(xiàn)大的貝里曲率效應(yīng)。這一要求有些嚴(yán)苛，滿足要求的體系可能不那么多。另外，貝里曲率大的區(qū)域，主要圍繞在外爾點(diǎn)附近。而空間反演對(duì)稱破缺誘發(fā)的外爾半金屬，其布里淵區(qū)內(nèi)形成的外爾點(diǎn)密度并不高，故而 k 空間整體貝里曲率就不大可能很大。

(3) Ortix 他們通過(guò)深入理論分析，似乎找到了一類具有特定軌道自由度 (軌道角動(dòng)量) 的電子結(jié)構(gòu)，即便不存在費(fèi)米面處的空穴激發(fā)，即便沒(méi)有磁性、沒(méi)有自旋 – 軌道耦合 SOC，只要其晶格對(duì)稱性足夠低 (例如點(diǎn)群 C_3v?和 C_s?等對(duì)稱性)，就可以通過(guò)晶體場(chǎng)分裂能帶，形成若干所謂的貝里曲率會(huì)聚區(qū) (Berry curvature hot – spots) 和奇異夾點(diǎn) (Berry curvature singular pinch point)，從而實(shí)現(xiàn)貝爾曲率及一階偶極矩顯著增強(qiáng)。當(dāng)然，軌道自由度對(duì)拓?fù)淠軒У挠绊懀叭艘呀?jīng)有相關(guān)研究，并非 Ortix 他們的原創(chuàng)。

(4) 基于以上分析，Ortix 他們還給出了具體的候選材料，并建議后來(lái)者去實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。他們指出，具有較強(qiáng)晶體場(chǎng)和晶格畸變、數(shù)目眾多的鈣鈦礦 ABO₃過(guò)渡金屬氧化物家族中，就存在很多這樣的體系，包括由 SrTiO₃、KTaO_3?和 SrVO₃ 等組成依 (111) 面構(gòu)成的異質(zhì)結(jié)體系，可能實(shí)現(xiàn)大貝里曲率效應(yīng)。那些 (111) 面取向的低維晶體，也可能具有很大的貝里曲率。

應(yīng)該說(shuō)，Carmine Ortix 他們的這一工作，提出了一類基于晶體場(chǎng)和軌道自由度 (軌道角動(dòng)量) 操控 k 空間貝里曲率的理論方案，并預(yù)言幾類非磁性、無(wú) SOC 的過(guò)渡金屬氧化物低維結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)大的貝里曲率和大的非線性霍爾效應(yīng)，給了 Ising 胡謅的“k 空間電磁學(xué)”以正面素材。隨后，Ortix 他們也宣示這一理論對(duì)所謂的“軌道電子學(xué)”做出了創(chuàng)新性貢獻(xiàn)，并展望了這一理論框架在未來(lái)的狄拉克準(zhǔn)粒子物理、電聲相互作用物理中所起的作用。從這一角度看，軌道自由度誘導(dǎo)的大貝里曲率效應(yīng)，是有意義的、值得后來(lái)者跟隨和進(jìn)一步探索的新物理。需要特別指出，基于軌道自由度的霍爾效應(yīng) (如 OHE)，已經(jīng)見(jiàn)諸報(bào)道，但借助晶體場(chǎng)實(shí)現(xiàn)大的貝里曲率這一思路和嘗試，卻是他們新的、有意義的貢獻(xiàn)。

雷打不動(dòng)的結(jié)尾：Ising 乃屬外行，描述不到之處，敬請(qǐng)諒解。各位有興趣，還是請(qǐng)前往御覽原文。原文鏈接信息如下：

Orbital design of Berry curvature: pinch points and giant dipoles induced by crystal fields

Maria Teresa Mercaldo, Canio Noce, Andrea D. Caviglia, Mario Cuoco & Carmine Ortix

npj Quantum Materials 8, Article number: 12 (2023)

https://www.nature.com/articles/s41535-023-00545-y

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通向大貝里曲率的新途徑

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